Logika Matematika

                        

                               I.            Pernyataan

Unit terkecil yang berhubungan dengan logika adalah kalimat. Kalimat-kalimat yang diperhatikan dalam logika bukan sembarang kalimat tetapi kalimat-kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Enis kalimat ini disebut (statement). Setiap pernyataan adalah sebuah kalimat, tetapi sebuah kalimat belum tentu sebuah pernyataan. Hanya kalimat-kalimat yang bersifat “menerangkan sesuatu” atau kalimat deklaratif yang dapat digolongkan sebagai pernyataan. Akan tetapi, tidak semua kalimat yang menerangkan sesuatu dapat digolongkan sebagai pernyataan.

Pernyataan adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Istilah lain dari pernyataan adalah proposisi (propositions) atau kalimat tertutup. Jika sebuah pernyataan benar, maka pernyataan tersebut dikatakan mempunyai nilai kebenaran Benar. Jika sebuah pernyataan salah, maka nilai kebenarannya adalah Salah.

Pernyataan	Bukan Pernyataan
1.      Bumi adalah bulat 2.      2+3 = 5 3.      Air adalah benda padat 4.      Temperatur pada permukaan planet venus adalah 800°F 5.      Matahari akan terbit besok pagi	1.      Bukalah pintu itu! 2.      Apakah Anda dapat berbahasa cina? 3.      X > 3 (X adalah variabel yang menunukan bilangan)
Keterangan	Keterangan
Kalimat (1) dan (2) adalah pernyataan  dengan nilai kebenaran Benar. kalimat (3) adalah pernyataan dengan nilai kebenaran Salah. Kalimat (4) adalah kalimat deklaratif yang nilai Benar atau Salah kita tidak tahu pada saat ini. Akan tetapi pada dasarnya kita dapat menentukan nilai kebenarannya sehingga kalimat (4) adalah pernyataan. Kalimat (5) adalah pernyataan karena bernilai Benar atau Salah, tetap tidak keduanya, kita harus menunggu sampai besok pagi untuk memastikan nilai kebenarannya.	Kalimat (1) adalah kalimat perintah. Kalimat (2) adalah kalimat pernyataan. Kalimat (3) adalah bukan pernyataan karena nilai tertentu yang diberikan untuk x kita tidak dapat mengatakan apakah bernilai Benar (lebih besar dari 3) atau bernilai Salah (lebih kecil atau sama dengan 3)

A.         Pernyataan Majemuk

Kalimat-kalimat sederhana yang Benar atau Salah adalah dasar dari pernyataan. Kalimat yang lebih besar dapat dikonstruksi dari pernyataan dasar dengan mengombinasikannya dengan perangkai logika. Pernyataan (proposisi) dan perangkai logika adalah unsur dasar dari logika proporsional. Dalam matematika, huruf-huruf x, y, z,.... melambangkan variabel yang dapat di ganti dengan bilangan real dan variabel-variabel tersebut dapat dikombinasikan dengan operasi hitung +, -, X, ÷.  Dalam logika, huruf-huruf p, q, dan r dinamakan sebagai Pernyataan Primitif. Variabel adalah Lambang (Variabel) yang dapat diganti dengan pernyataan . Contoh variabel pernyataan (pernyataan primitif) adalah sebagai berikut :

p   :   2 + 3 = 5

q   : 2 adalah bilangan prima

r    : √2 adalah bilangan rasional

variabel-variabel pernyataan (pernyataan primitif) dapat digabungkan dengan perangkai-perangkai logika untuk memperoleh pernyataan-pernyataan majemuk (compound statements). Nilai kebenaran dari sebuah pernyataan majemuk tergantung nilai kebenaran dari variabel pernyataan (pernyataan primitif) dan perangkai logika yang digunakan. Pernyataan majemuk (compound statements) adalah pernyataan yang diperoleh dengan menggabungkan variabel pernyataan (variabel primitif) dengan perangkai logika.

1.        Perangkai Logika

Terdapat lima jenis perangkai logika yang dapat digunakan untuk menggabungkan variabel pernyataan (pernyataan primitif) menjadi pernyataan majemuk (compound statements), yaitu :

No	Perangkai Logika	Simbol	Bentuk	prioritas
1	Negasi (not)	¬	tidak.....	5
2	Konjungsi (and)	∧	.....dan.....	4
3	Disjungsi (or)	∨	.....atau.....	3
4	Implikasi	→	jika.....maka.....	2
5	Biimplikasi	↔	.....jika dan hanya jika.....	1

a.       Negasi

Jika P bernilai Benar maka Q bernilai Salah dan jika Q bernilai Salah maka P bernilai Benar

p	¬p	Contoh	p	¬p
B	S	1	5-2=3	5-2≠3
S	B	2	2+3>5	2+3≤5

b.      Konjungsi

Jika P dan Q bernilai Benar maka P Konjungsi Q bernilai benar dan bernilai Salah satu pernyataan bernilai Salah

P	Q	P∧Q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

c.       Disjungsi

Jika P dan Q bernilai benar maka P disjungsi Q bernilai Benar dan jika salah satu pernyataan P atau Q bernilai Benar dan bernilai Salah jika kedua pernyataan bernilai Salah

P	Q	P∨Q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

d.      Implikasi

Jika P bernilai Benar dan Q bernilai Salah maka P Implikasi Q bernilai Salah dan bernilai Benar jika keduanya bernilai Benar, jika P bernilai Salah Q bernilai Benar, dan jika keduanya Bernilai Salah

P	Q	P→Q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

e.       Biimplikasi

Jika P dan Q bernilai Benar atau bernilai Salah keduanya maka P Biimplikasi Q bernilai Benar dan bernilai Salah jika P bernilai Benar dan Q bernilai Salah dan sebaliknya

P	Q	P↔Q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Tweet